Strefa WMS

Serwis Studentów Wydziału Matematyki Stosowanej AGH

  • Increase font size
  • Default font size
  • Decrease font size

Lista zagadnień do egzaminu magisterskiego

Image Dziekan ogłosił listę zagadnień do egzaminu magisterskiego. Pozycja obowiązkowa dla tegorocznych magistrantów. Z pięciu lat studiów matematycznych, wybrane zostały 54 tematy.


Lista zagadnień do egzaminu magisterskiego

1. Lemat Kuratowskiego-Zorna, tezy równoważne. Wykorzystanie Lematu
w jakimś dowodzie.
2. Moc zbioru, twierdzenie Cantora o mocy zbioru potęgowego.
3. Konstrukcja zbioru liczb rzeczywistych (wychodząc od zbioru liczb wymiernych).
4. Definicja i własności bazy w przestrzeni liniowej. Zmiana bazy. Przykłady
zastosowań.
5. Wymiar i baza: jądra i obrazu homomorfizmu przestrzeni wektorowych.
6. Odwzorowanie liniowe: przykłady; reprezentacja macierzowa odwzorowania.
7. Pojęcie wyznacznika. Rola permutacji. Forma n-liniowa antysymetryczna.
8. Rząd odwzorowania liniowego i macierzy. Rozwiazalność układu m równań liniowych o n niewiadomych. Interpretacja w przestrzeni afinicznej.
9. Diagonlizacja macierzy hermitowskiej. Wartości własne i wektory własne.
Zastosowanie do macierzy rzeczywistych i form kwadratowych.
10. Izometrie liniowe. Unitarność i ortogonalność. Iloczyn skalarny.
11. Przestrzeń metryczna. Przykłady. Podzbiory (otwarte, domknięte); granica ciągu elementów. Ciągłość odwzorowania jednej przestrzeni w drugą.
12. Twierdzenie Banacha o punkcie stałym odwzorowania; przykład wykorzystania.
13. Zbiory zwarte i własności funkcji ciągłych na nich określonych.
14. Kryteria zbieżności szeregu liczbowego; szeregi elementów przestrzeni Banacha.
15. Zbieżność punktowa i jednostajna ciągu funkcji: własności w przypadku
funkcji ciągłych.
16. Twierdzenia o wartości średniej, jego wersje w różnych przestrzeniach:
zastosowania.
17. Ekstrema lokalne funkcji różniczkowalnych n zmiennych.
18. Funkcja uwikłana; istnienie; pochodna; płaszczyzna styczna do powierzchni.
19. Definicja całki Riemanna. Istnienie całki z funkcji ciągłej.
20. Twierdzenie Newtona{Leibniza i twierdzenie o wartości średniej dla całek.
21. Zbiory borelowskie na prostej, zbiory mierzłne w sensie Lebesgue'a.
22. Porównanie pojęć: miary i miary zewnętrznej, twierdzenie Caratheodory'ego.
23. Etapy konstrukcji całki z funkcji mierzalnych, pojęcia całkowalności i sumowalności.
24. Całka Lebesgue'a, porównanie z całką Riemanna.
25. Twierdzenia Lebesgue'a o zbieżności ciągu całek.
26. Twierdzenia Fubiniego.
27. Definicja całki krzywoliniowej z funkcii zmiennej zespolonej i wzór całkowy Cauchy'ego.
28. Szeregi potęgowe; ich obszar i promień zbieżności. Szereg Taylora funkcji analitycznej.
29. Funkcje analityczne, własności odróżniające je od różniczkowalnych funkcji rzeczywistych.
30. Projekcje ortogonalne, ich własności i metoda ortonormalizacji (Grama–
Schmidta).
31. Odwzorowania liniowe T w przestrzeni Banacha; warunki równoważne
ciagłości; norma T .
32. Twierdzenia Banacha o odwzorowaniach liniowych; rola zupełności przestrzeni.
33. Postać funkcjonałów liniowych ciągłych na przestrzeni Hilberta: operator sprzężony.
34. Różniczka; przypadek odwzorowania jednej przestrzeni Banacha w drugą, przestrzeni skończenie wymiarowych; macierz Jacobiego.
35. Problem uwarunkowania zadania:ąlgorytmy numerycznie poprawne i nu
merycznie stabilne.
36. Zagadnienia aproksymacji i interpolacji funkcji.
37. Metody rozwiązywania równań algebraicznych (liniowych i nieliniowych).
38. Metody przybliżonego obliczania całek.
39. Numeryczne rozwiązywanie problemu własnego.
40. Problemy prymarny i dułny programowania liniowego. Zasada dualności.
41. Przepływ maksymalny w sieci – twierdzenie o maksymalnym przepływie i
minimalnym przekroju.
42. Pojęcie procesu stochastycznego. Proces Poissona i Wienera.
43. Wartość oczekiwana warunkowa względem 3-ciała (jej parę własności, przykładów).
44. Zbieżności ciągów zmiennych losowych i sformułowanie któregoś prawa
wielkich liczb.
45. Krótkie omówienie statystyk dostatecznych i zupełnych oraz ich rola w
statystyce
46. Sformułowanie problemu decyzyjnego. Kryteria optymalności reguł decy
zyjnych.
47. Sformułowanie stochastycznego problemu testowania hipotez. Lemat Neymana-Pearsona.
48. Twierdzenie Koeniga jako przykład twierdzenia minimaksowego (aspekty
algorytmiczne, zastosowania).
49. Ciąg Fibonacciego (definicja rekurencyjna i postać analityczna).
50. Krzywe stożkowe (różne definicje, równania kanoniczne, interpretacja parametrów, mimośród).
51. Istnienie i jednoznaczność rozwiązania problemu początkowego dla równań różniczkowych zwyczajnych.
52. Równania i układy różniczkowe liniowe.
53. Problemy brzegowe dla równań zwyczajnych. Zagadnienie Sturma-Liouville'a.
54. Jakościowe badanie rozwiązań równania różniczkowego, stabilność, linearyzacja.

Kraków, 2006.03.07


Listę warto polecić także studentom niższych lat. Ci mają szansę zwrócić na ww. szczególną uwagę i w razie potrzeby na bieżąco naddrobic zaległości, co być może okaże się przydatne kiedyś w przyszłości. Rzecz jasna, pod warunkiem, że lista nie ulegnie modyfikacjom, więc tak do końca do nigdy nie wiadomo.
Poprawiony: wtorek, 14 marca 2006 23:08